Priemtweelingen

Priemgetallen zijn geweldig (zie ook mijn blog over 431 in de link hieronder). In deze blog gaat het over priemtweelingen – maar eerst een korte inleiding.

Grootste priemgetal?

Priemgetallen zijn getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf. Dat wist u waarschijnlijk nog. Het begin van de lijst met priemgetallen is vrij bekend: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, en zo verder.

Bijvoorbeeld 10 staat er niet bij. Het is deelbaar door 2 en 5, en dus geen priemgetal. Ook 12 niet, want dat is deelbaar door 2 en 3. Enzovoorts.

Een aardige vraag is natuurlijk: is die lijst met priemgetallen oneindig lang, of is er een einde? Wiskundig gezegd: is er een grootste priemgetal? Simpel gevraagd, maar zoals zo vaak… Probeer je even met me mee te denken?

Het antwoord is: nee, er is geen allergrootste priemgetal. Dat is (verbazend genoeg!) in een paar stappen te bewijzen (sla het stukje hieronder over als je geen hoofdpijn wilt krijgen!).

Het wiskundige bewijs gaat als volgt:

1. Stel: P is het grootste priemgetal;

2. Maak nu een lijst van alle priemgetallen, waarbij P dus de grootste is (dit is praktisch onuitvoerbaar, maar dat is voor het bewijs niet van belang);

3. Bereken nu het getal Q door al die priemgetallen van 2 tot en met P met elkaar te vermenigvuldigen (dat is praktisch nóg onuitvoerbaarder!);

4. Q is deelbaar door álle priemgetallen – dat is logisch, toch? Q+1 dan dus juist niet – dat is precies even logisch, toch? Ah, dan is dus het gevolg dat Q+1:

5a) óf: zelf een priemgetal is;

5b) óf: deelbaar is door een getal R. In dat geval moet R groter zijn dan P (want dat Q+1 níet deelbaar was door een getal kleiner dan P hadden we bij 4 al bewezen).
6. R moet bovendien zélf een priemgetal zijn. Immers: als R deelbaar zijn door één van de priemgetallen tot P, dan zou Q+1 dat óók zijn. En we hebben bij 4 al gezien: dat is niet zo;

7. Conclusie: P is niet het grootste priemgetal, want óf Q+1 is een groter priemgetal, of diens deler R is een groter priemgetal;

6. Dus de premisse is vals, en QED: er is dus geen grootste priemgetal.

Dit is een leuk bewijsje, maar voor ons onderwerp is het alleen maar een beginnetje: we gaan nu over naar priemtweelingen.

Aan de overslaanders: welkom terug!

De tweelingen

Iedereen die wel eens naar een lijstje met priemgetallen heeft gekeken, heeft opgemerkt dat er opvallend vaak twee direct opvolgende oneven getallen voorkomen:

3 en 5, oftewel (4±1),

5 en 7 (6±1),

11 en 13 (12±1),

17 en 19 (18±1),

29 en 31 (30±1),

41 en 43 (42±1) en ga zo maar door.

We noemen deze getallen ‘priemtweelingen’. Bij lage getallen komen ze veel voor. Bij hogere getallen worden de priemtweelingen schaarser. Ah, daar komt de hamvraag weer: stopt hun voorkomen ooit? Dit is (helaas, of juist gelukkig?) geen simpel oplosbare vraag.

Zesvoudig middengetallen

Even terzijde: valt u in dit lijstje op dat vanaf 5 elk genoemde middengetal een veelvoud van zes is? Ah, leuke observatie! Inmiddels hebben wiskundigen bewezen dat ELK middengetal van een priemtweeling een veelvoud van 6 moet zijn – hoe groot de priemtweelingen ook worden. Andersom geldt dat niet: niet elk veelvoud van 6 is een middengetal. Dat is wél eenvoudig te zien: bijvoorbeeld 24 en 36 doen het al niet. 24+1=25 en dat is deelbaar door 5. En 36-1=35 is ook dat is geen priemgetal, want het is 7 x 5.

De grootste tweeling

Priemtweelingen zijn een grote bron van vermaak voor getallenfetishisten. Omdat er geen simpel wiskundig bewijs is gevonden, wordt er met computerwiskunde naar gezocht. Zeker met AI is dat een tak van wiskunde die enorm snel groeit en geweldige resultaten boekt. Onder computerwiskundigen is er inmiddels een wedstrijdje gaande wie het grootste getallenpaar kan vinden. Bijvoorbeeld 102±1 is al groter dan ons lijstje hierboven, maar het kan beter. Véél beter. De grootste bekende priemtweeling is écht heel groot. Het is

2.996.863.034.895 × 2^1.290.000 ± 1.

Het getal is ontdekt in 2016 en het heeft 388.342 (!) cijfers.

De vraag dringt zich op: zijn er nog grotere? Zijn er misschien zelfs oneindig veel – wat gelijk staat aan: is er geen grootste?

Een slimmerik zal misschien vragen: zijn jouw getalletjes Q+1 en Q-1, zijn die niet zo’n koppeltje? Helaas. Als dat zo was, zou ik nu beroemd zijn (het zou het vermoeden van de volgende paragraaf bewijzen), maar nee: bewijzen dat Q+1 een priemgetal is, is nog niet zo eenvoudig. In mijn bewijsje hierboven heb ik ook verondersteld dat er een R zou kunnen bestaan.

Oneindig veel tweelingen?

Alphonse de Polignac formuleerde in 1846 het vermoeden dat er oneindig veel van zulke priemtweeling-koppeltjes zijn. Er is hard naar een bewijs voor zijn stelling gezocht, maar zijn vermoeden is nooit bewezen.

De benadering die wereldwijd nu wordt gevolgd, is dat geprobeerd wordt het te bewijzen door te kijken maar een maximale afstand tussen priemgetallen. Het idee is dan: als je kunt bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn met een afstand van twee, heb je tegelijk bewezen dat er geen grootste priemtweeling is (dat is logisch, toch?).

In 2013 kon de wiskundige Yitang Zhang bewijzen dat er oneindig veel priemparen bestaan die minder dan 70 miljoen van elkaar verschillen. Het belangrijkste effect van zijn bewijs was, dat hij een werkende methode had gevonden. Sinds 2016 is met veel (computer-)onderzoek die kloof versmald naar 246. Hem verder verkleinen lukt sindsdien (nog?) niemand – de priemtweelingen-veronderstelling biedt hardnekkig weerstand. De afstand van 2 om te komen tot priemtweelingen is dus absoluut nog niet in zicht.

Als iemand inspiratie krijgt: hier ligt een leuke uitdaging. En eeuwige roem, tenmiste: bij priemgetallen-nerds.

431

Helemaal onderaan vind je een link naar het SF-verhaal ‘431.’ Moet je zeker lezen! Leuk (nou, ja….) is hier om op te merken dat 431 met 433 ook een priemtweeling is. Dit aardige feitje speelt in het verhaaltje overigens geen enkele rol.