Na mijn blogjes over de prachtige getallen 431 en 6174 nu een stukje over Square Sum Cycles. En het bijbehorende grensgetal 32.
Tweeëndertig
Kijk eens naar deze getallencirkel. In de cirkel staan de getallen van 1 tot 32. Elk getal staat er in en er zijn geen herhalingen. Wat maakt deze cirkel bijzonder?
Wel: tel eens twee naburige getallen op. Wat je krijgt: een kwadraat. Neem twee anderen: weer een kwadraat. ALLE tweetallen tellen op tot een kwadraat. Een fraaie constructie – tenminste: voor mensen met een kleine wiskunde-afwijking. Zoals ik.
Deze structuur heet een SSC: een Square Sum Circle. Het een bijzonder geval van een algemenere constructie met de naam ‘Hamilton-circuit’. Dat is een concept uit de grafentheorie, die de relaties tussen objecten (in dit geval getallen) bestudeert met behulp van netwerken die bestaan uit knooppunten en lijnen. Denk bijvoorbeeld aan wegennetwerken die steden en dorpen verbinden (Google Maps gebruikt deze wiskundige theorieën), of sociogrammen die vriendschapsrelaties in een groep mensen beschrijven. Ook deze kwadraatsompuzzel is zo’n Hamilton-circuit. Een heel speciale.
N=32 is het laagste getal waarvoor een Square Sum Circle is te bouwen: een getallencirkel die wordt bijeengehouden door kwadraten. Met lagere plafondgetallen kun je wel een lineair Hamilton-pad bouwen (dat is een lijn van getallen), maar geen gesloten cirkel. Voor bijna ieder hoger getal is er minstens één cirkel te vinden. N= 32 is hier dus de ondergrens.
Grotere getallen
Voor N=33 zijn er drie verschillende cirkels mogelijk. Bij N=34 zijn het er weer nul (er is wel een lineair pad). Voor N=35 is het er één. Boven de 36 komt er een nieuw kwadraat beschikbaar, en daarna stijgt het aantal mogelijke cirkels heel erg snel. Bij N=40 zijn het er minimaal miljoenen.
Waarom 32 de ondergrens is? Tja, onder de 32 zijn er weinig bruikbare kwadraten (alleen 4, 9, 16 en 25) veel getallen met weinig combinatie-mogelijkheden om kwadraten te vormen. En dat er bij 34 geen cirkel is heeft dezelfde reden – een toevalligheid. En ja: dat is wiskundig een onbevredigend antwoord.
Soms lijkt zelfs wiskunde een beetje ad hoc. Of anders gezegd: er kan best een diepere oorzaak zijn, een betekenisgevende grond, alleen: wij kennen hem niet. Nog niet. En misschien komt het moment wel nooit. Omdat de reden te ingewikkeld is. Of afwezig.
SF-verhaal
Nee, ik heb geen verhaal waarin 32 een rol speelt. Maar er is wel een hele ris leuke SF-verhaaltjes die gratis digitaal te lezen is. Ga daarvoor naar www.wettum.org/sf . Wanneer je een hele bundel van die verhalen wilt lezen, of zelfs een complete roman, kijk dan op https://www.wettum.org
Bronnen:
SSC als programmeerprobleem:
https://gist.github.com/manwar/5d0718aea94d228548fde15c7750a39b
Hamiltonpaden:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Hamiltonpad
Voor de échte nerds: hoeveel cirkels (circuits) zijn er voor elke N? Wiskundigen maken schattingen. De methodes en resultaten staan geregistreerd in de OEIS, de officiële database voor wiskundige getallenreeksen. Het aantal oplossingen voor gesloten cirkels valt onder de getallenreeks A071984 (“Number of Hamiltonian cycles in the square-sum graph”). Zie de site https://oeis.org/A071984
Wettum.org 