De Recaman-reeks (vernoemd naar de Colombiaanse wiskundige Recaman Santos) heeft een eenvoudig recept:
1. Het verhaaltje speelt zich af op de positieve as van alle gehele getallen.
2. We beginnen bij nul. Ons getalletje ( we noemen hem ‘n’) gaat nu stap voor stap elk volgend getal af. Elke stap is er een keuze:
3. Wanneer je op de as n stappen naar links kunt (dus: aftrekken) en dan op een getal komt dat nog niet bezocht is: ga dan naar links.
4. Als 3. niet kan: ga naar rechts (dus: optellen).
De rij getallen die je zo krijgt, heet de Recaman-reeks.
Even een paar getallen uitproberen
Het recept is een beetje abstract, dus om het een beetje te snappen, proberen we de eerste paar n-netjes uit.
Eerste getal: n=0. Het startpunt.
Tweede getal n=1: 1 naar naar links kan niet (want 0-1=-1 en het moet een positief getal blijven), dus we gaan naar rechts: 0+1=1. We staan op 1.
n=2: twee naar links kan niet (want 1-2=-1 en het moet positief blijven), dus we gaan twee naar rechts: we staan op 1+2=3
n=3: drie stappen naar links kan niet, want 3-3=0 en daar waren we al geweest. Dus naar rechts: 3+3=6
n=4: vier stappen naar links kan wél, want 6-4=2 en die 2 was nog niet aan de beurt geweest. Dus 6-4=2. We staan op 2.
n=5: vijf stappen naar links kan niet, want 2-5 is negatief. Dus hup: naar rechts: 2+5=7
n=6: zes stappen naar links kan niet, want 7-6=1 en daar waren we al geweest. Dus gaan we naar rechts: 7+6=13
Enzovoorts. Het idee is duidelijk en het is nu gewoon een kwestie van stug volhouden.
Is dit boeiend?
Op een vreemde manier wel. Hoewel de reeks willeleurig lijkt, brengt het simpele recept een vreemd soort orde in de getallen. In de visualisatie worden de sprongen weergegeven als halve cirkels, en het resultaat is hypnotiserend:
Kijk maar eens naar deze visualisatie, die de reeks volgt tot ongeveer het getal 300.000:
https://youtu.be/kBZ_yYXyzKc?is=59XbkqfyfPdbIx4c
Op een vreemde manier is het mooi. Er is een duidelijke willekeur, waardoorheen toch op grotere schaal een structuur schemert. Een soort fractaal.
Er is ook een audio-vertaling van gemaakt, die je zeker een keer moet beluisteren. Zie daarvoor de video in de links hieronder. Het is een spooky compositie, gemaakt door pure wiskunde.
Elk getal?
Een leuke vraag voor die-hards: wordt nu in deze reeks ELK getal een keer bezocht? Ah, makkelijk gevraagd, en zoals zo vaak in de wiskunde: een simpele vraag is een heel erg lastige. Een formule voor de reeks is er (nog?) niet, dus makkelijk calculeren is niet mogelijk. Dat blijft de enige oplossing over: gewoon proberen. Met een snelle computer gewoon alle getallen doorlopen. Dat is gedaan. Een behoorlijk eind…
Soms duurde het een tijdje voor een lager getal wordt opgevuld. Er zijn bijvoorbeeld 132 stappen nodig, voordat 4 wordt bereikt. Het getal 19 komt pas na 99.735 stappen tevoorschijn. Het vermoeden is, dat elk getal een keer bezocht wordt – maar een vermoeden is geen bewijs!
Elk getal? Inmiddels zijn ze al heel ver met het proberen: al tot 10^230, een 1 met 230 nullen. Voor zulke getallen bestaat allang geen naam meer. Er is één getal dat heel hardnekkig NIET wordt bereikt. Zelfs na al die 10^230 pogingen niet, en dat is…
{tromgeroffel}
{paukslag}
852.655.
Het is mogelijk dat 852.655 pas na nog idioot veel stappen aan de beurt komt – dat weet niemand. Maar het kan ook dat de reeks er voor altijd omheen blijft springen. Eén gaatje: 852.655. Raar toch? Wat maakt dit getal zo slecht bereikbaar? Waarom speciaal dit getal?
Het is een raadsel…
SF-verhaal
Getallen zijn intrigerende dingen. Altijd ingewikkeld. Wonderlijk. Zelfs magisch. Ze zijn niet alleen geschikt voor hard, saai rekenwerk, maar ook voor speculatie en zelfs voor allerlei complottheorieën. Bijvoorbeeld het voorspellen van het eind van de wereld…
Een voorbeeld (of is het daar nu juist écht rekenwerk?) in mijn SF-verhaal ‘Vierhonderdeenendertig’ uit de verzamelbundel ‘De boodschap’, die werd gepubliceerd onder redactie van Finn Audenaert. Je kunt het verhaal digitaal hier lezen:
https://ootw-magazine.weebly.com/fiction/charles-van-wettum-vierhonderdeenendertig
Links:
Wiki over de Recaman-reeks:
https://en.wikipedia.org/wiki/Recam%C3%A1n’s_sequence
Uitleg-video met visualisatie en video:
Wettum.org 