Zwaartekracht in Mercurius

Nee, het is geen schrijffout: ik bedoel niet de zwaartekracht op Mercurius, maar echt die erin: ‘Zwammen’ is een SF-roman die speelt in het binnenste van Mercurius. Diep onder het planeetoppervlak. In de grotten daar (lees hier meer over die grotten).

Mijn SF houd ik graag zo natuurwetenschappelijk realistisch mogelijk (al is het natuurlijk geen 100%, het blijft tenslotte naast ‘science’ ook ‘fiction’). Toen ik dus besloot dit boek te laten spelen op – of eigenlijk: in – Mercurius, moest ik iets met de zwaartekracht.

Hier wil ik uitleggen wat en hoe. Ik probeer het zo te schrijven dat het voor iedereen te volgen is, ook zonder kennis van wiskunde of natuurkunde. En trouwens: voor het boek heb je deze of andere voorkennis totaal niet nodig!

Zwaartekracht

Als je op een planeet of een maan staat, is je gewicht afhankelijk van hoe groot die planeet is. Nauwkeuriger: van 1) de massa van de planeet en 2) de afstand tot het middelpunt van die planeet.

Wij zijn gewend aan de zwaartekracht op het oppervlak van de aarde – daarom noemen we de zwaartekrachtversnelling (de maat voor zwaartekracht) bij ons: 1 g (spreek uit: één gé). De enige andere plek in ons heelal waarvan wij tot nu toe op het oppervlak de zwaartekracht hebben ervaren (nou ja, ‘wij’ – ik bedoel: een paar mensen), is op de maan. Op de beelden daarvan zie je dat de astronauten daar probleemloos hoger en verder konden springen. Op de maan is de zwaartekracht(-versnelling) 0,17 g. Hun gewicht was dus ongeveer zes keer zo laag, en ja: dat springt dus veel makkelijker.

Op de planeet van de roman ‘Zwammen’, de kleine rotsplaneet Mercurius (zie de foto hierboven) is de zwaartekracht 0,38 g. Dit planeetje is de kleinste van ons zonnestelsel en staat vlak bij de zon. Dat heeft allerlei leuke effecten – zie voor veel meer hierover de bronnen onderaan dit artikel. Wat mij nu interesseert, is de zwaartekracht. Voor wandelaars op het oppervlak is die 38% van de Aardse zwaartekracht(-versnelling) en dat betekent dus dat bezoekers op het oppervlak van Mercurius ongeveer een derde van het gewicht hebben dat zij op Aarde zouden voelen.

De zwaartekracht op het oppervlak

We gaan eens even naar de zwaartekracht op Mercurius kijken. Zie de figuur hierboven.

Je staat op Mercurius (voor de verhouding ben je hier veel te groot getekend: in werkelijkheid zou het poppetje ongeveer de hoogte moeten hebben van de dikte van de opperhuid van de kleine teen van zijn linkervoet. Maar ja, dan zie je niks).

De zwaartekracht wordt veroorzaakt doordat elk deeltje van de hele planeet aan elk deeltje van jouw lichaam trekt. Sommige deeltjes van de planeet zitten verder naar links, andere verder naar rechts en die trekken dus scheef aan je. Als we er even vanuit gaan dat alle massa in het binnenste van de planeet precies egaal is verdeeld (natuurkundigen zeggen dan: de dichtheid is overal gelijk), dan trekken de deeltjes je gemiddeld recht naar beneden: naar het middelpunt van de planeet. Zie het plaatje hieronder.

Newton stelde de beroemde formule op om zwaartekrachtversnelling te berekenen. Zijn formule daarvoor is:

g = G.M / r^2

In woorden: G maal M, gedeeld door r in het kwadraat. ‘Kwadraat’ betekent: r keer r

In deze formule is ‘G’ de zogenaamde ‘zwaartekrachtconstante’, een heel klein maar vast getal dat je kunt opzoeken in de tabellenboek of op internet. ‘M’ is de massa van de planeet in kilogrammen – in dit geval: de massa van Mercurius. Tenslotte is ‘r’ de afstand van jou tot het middelpunt van de planeet, gemeten in meters. Als je op de grond staat, is dat gelijk aan de straal van de planeet.

Aan de formule kun je zien:

als de massa onder je voeten groter wordt (de M), wordt ook de zwaartekracht groter.
als de afstand tot het centrum groter wordt (de r), wordt de zwaartekracht juist kleiner.

Voor Mercurius kun je getallen opzoeken op de wiki-pagina onderaan dit artikel. Voor nu hoeven we het niet uit te rekenen: wat voor ons verdere verhaal belangrijk is, is het kwadraatje van ‘r’ – straks zul je zien waarom.

We duiken de planeet in

Het gaat het met de zwaartekracht als je in een planeet afdaalt? Je graaft een gat naar beneden, neemt de lift omlaag, en dan …

Het figuurtje hierboven geldt niet meer, het wordt nu zoals hieronder. Voor de uitleg is er een hulpcirkeltje verschenen en de pijlen van de krachten komen nu van alle kanten. Er zijn twee verschillende effecten.

Effect 1: je komt dichter bij het middelpunt van de planeet. Dus in de formule van Newton: de ‘r’ wordt kleiner.

Effect 2: een deel van de planeet zit niet meer onder je, maar boven je. Of beter gezegd: aan alle kanten rondom je. Er is een schil van de planeet waarin de massa verder van het middelpunt vandaan zit dan jijzelf.

Effect 2 is heel bijzonder: het is wiskundig vrij eenvoudig (maar we doen het hier niet) om uit te rekenen hoe groot de zwaartekracht is van zo’n schil op iemand die zich binnen die schil bevindt. En misschien voelt de uitkomst niet logisch aan, maar het is wel waar: het maakt dan niet uit wáár precies die persoon zich binnen die schil bevindt, overal binnen de schil is de zwaartekracht nul. Helemaal niets.

In een holle schil ben je gewichtsloos – het maakt daarvoor niet uit hoe dik die schil is. De trekkracht van alle massa-deeltjes in de schil is naar links, naar rechts, naar boven en naar onder. Alles bij elkaar vallen al die krachten altijd precies tegen elkaar weg. Wat er overblijft? Helemaal niets. Gewichtloosheid. Vind je dit boeiend? Kijk voor meer informatie in de bron hieronder.

Hier is het net anders, want de schil is niet leeg: er bevindt zich nog een bolletje aan planeet onder onze voeten (figuur 3). Als dat bolletje er niet was, dan waren we gewichtsloos – maar het bolletje is er wel, en de massa in dat bolletje trekt nog steeds aan ons. Het poppetje dat zich IN de planeet bevindt, heeft dus alleen nog zwaartekracht van het deel van de planeet dat zich onder zijn voeten bevindt! Het deel dat dichter bij het centrum zit dan hijzelf. En dat kunnen we uitrekenen met de Wet van Newton. Daarvoor moeten we even rekenen – als je dat wel gelooft, kun je het volgende stukje overslaan en direct naar CONCLUSIE gaan.

Lager word je lichter

Het bolletje onder onze voeten is kleiner dan de hele planeet. Dus: minder massa onder je voeten. Dus: kleinere zwaartekracht. Dat is logisch. Ho, even, zul je nu zeggen: maar je bevindt je wel dichter bij het centrum! De ‘r’ is kleiner geworden, en daardoor zou de zwaartekracht juist groter moeten worden.

Dat klopt! Er zijn de twee effecten die we al eerder zagen: kleiner door minder massa (een kleinere ‘M’), en groter door de kleinere straal (de ‘r’). Hoe verhouden die twee effecten zich?

We nemen even aan dat we afdalen tot halverwege de planeet. Met andere woorden: de ‘r’ wordt 2x zo klein. Wat gebeurt er nu met de massa die zich in dat bolletje bevindt?

Wel, het volume van het bolletje onder je voeten kun je uitrekenen met een formule. Daarin komt de ‘r’ weer voor, maar dan in de derde macht: r^3 ( = r keer r keer r). Als de bol 2x zo klein wordt, dan neemt de omvang af met de derdemacht van 2, dus met 2 x 2 x 2 is 8. En als het volume (de inhoud) van de bol 8x zo klein wordt, wordt natuurlijk ook de massa die zich daarin bevindt, 8x zo klein (weer op de voorwaarde dat de massa egaal verdeeld is). Conclusie: een twee keer zo kleine ‘r’ is 8 keer zo kleine ‘M’.

Tegelijk: als de bol 2x zo klein wordt, zitten we ook 2x dichter bij het centrum. In de formule van Newton ging dat met een kwadraat. Dus: 2x zo dicht bij het centrum betekent 2 x 2 = 4 keer zo grote kracht.

Twee effecten, dus, die tegelijk optreden. Daardoor wordt de zwaartekracht enerzijds 8x zo klein, en anderzijds tegelijk 4x zo groot. Samen betekent dat: 2 keer zo klein.

Conclusie

De eindconclusie is dus: als je afdaalt van het oppervlak van Mercurius en je bent halverwege, dan weeg je nog maar de helft. Doorredenerend voor andere fases in onze afdaling: als de ‘r’ nog maar een kwart is, dan weeg je ook nog maar een kwart. op een achtste weeg je nog maar een achtste.

Als je vanaf het oppervlak 10% van de straal zakt, weeg je 10% minder. Als je helemaal in het midden aankomt, ben je gewichtloos. Bizar, toch?

Wanneer is dit belangrijk?

Op Aarde voelen we dit nooit. De diepste mijn op Aarde is ongeveer vier kilometer diep – dat is verschrikkelijk diep, maar nog steeds minder dan één procent van de straal van de Aarde. De zwaartekracht is daar lager, maar dat is dus ook minder dan een procent – zo weinig, dat het niet is te merken. Nog dieper graven is voor mensen (op dit moment?) onmogelijk: de aarde wordt heter en op de meeste plekken een paar kilometer lager al vloeibaar.

Op Mercurius is dat anders. De vloeibare kern is van het mini-planeetje is minuscuul (onderzoekers denken: nog maar ca 10% van de totale straal). De rest van de planeet is gewoon harde rots. Je kunt dus gangen boren of zelfs afdalen in bestaande grotten (als die er zijn, zie daarvoor deze blog). Afdalen tot halverwege of zelfs nog lager, is (theoretisch) mogelijk. En dan …

Precies: dan worden we dus lichter. De zwaartekracht wordt lager. Aan het oppervlak van Mercurius wegen we ongeveer 38% van ons aardse gewicht. Halverwege de reis naar het centrum is dat nog 19%. Op driekwart nog 10%.

Ja, dat geeft speciale effecten! Om daar meer van te weten, moet je het boek lezen …