Zwaartekracht in Mercurius

‘Zwammen’ is een SF-roman die speelt in het binnenste van Mercurius. Mijn SF heb ik graag zo natuurwetenschappelijk realistisch mogelijk (al is het natuurlijk geen 100%, het blijft tenslotte naast ‘science’ ook ‘fiction’). Toen ik dus besloot dit boek te laten spelen op – of eigenlijk: in – Mercurius, moest ik iets met de zwaartekracht.

Hier wil ik uitleggen wat en hoe. Ik probeer het zo te schrijven dat het voor iedereen te volgen is, ook zonder kennis van wiskunde of natuurkunde. En trouwens: voor het boek heb je dit of andere voorkennis totaal niet nodig!

Zwaartekracht

Als je op een planeet of een maan staat, is je gewicht afhankelijk van hoe groot die planeet is. Nauwkeuriger: van de massa van de planeet en de straal (de afstand tot het middelpunt van die planeet). Wij zijn gewend aan de zwaartekracht op het oppervlak van de aarde – daarom noemen we de zwaartekrachtversnelling (de maat voor zwaartekracht) bij ons: 1 g (spreek uit: één gé). De enige andere plek waarvan wij de zwaartekracht hebben ervaren (nou ja, ‘wij’ – ik bedoel: een paar mensen), is op de maan. Op de beelden daarvan zie je dat zij daar probleemloos hoger en verder konden springen. Op de maan is de zwaartekracht(versnelling) 0,17 g. Hun gewicht was dus ongeveer zes keer zo laag.

Op de planeet van de roman ‘Zwammen’, de kleine Mercurius (zie de foto hierboven) is het 0,38 g. Dit planeetje is de kleinste van ons zonnestelsel en staat vlak bij de zon. Dat heeft allerlei leuke effecten – zie voor veel meer hierover de bronnen onderaan dit artikel. Wat mij nu interesseert, is de zwaartekracht. 38% van de Aardse zwaartekracht(versnelling) betekent dat we op het oppervlak van Mercurius ongeveer een derde van het gewicht hebben van op Aarde.

We gaan eens even naar de zwaartekracht op Mercurius kijken.

Zie de figuur hierboven. Je staat op Mercurius (voor de verhouding ben je hier veel te groot getekend: in werkelijkheid zou het poppetje ongeveer de grootte moeten hebben van de opperhuid van de kleine teen van zijn linkervoet. Maar ja, dan zie je niks).

De zwaartekracht wordt veroorzaakt doordat elk deeltje van de hele planeet aan elk deeltje van jouw lichaam trekt. Sommige deeltjes van de planeet zitten verder naar links, andere verder naar rechts en die trekken dus scheef aan je. Als we er even vanuit gaan dat in de planeet alle massa egaal verdeeld is (natuurkundige zeggen: de dichtheid is overal gelijk), dan trekken de deeltjes je gemiddeld recht naar beneden: naar het middelpunt van de planeet. Zie het plaatje hieronder.

Newton stelde de beroemde formule op om deze g te berekenen. Zijn formule is:

g = G.M / r^2

In woorden: G maal M, gedeeld door r in het kwadraat. ‘Kwadraat’ betekent: r x r

In deze formule is G de zogenaamde ‘zwaartekrachtconstante’, een heel klein maar vast getal dat je kunt opzoeken in de tabellenboek of op internet. M is de massa van de planeet in kilogrammen – in dit geval: de massa van Mercurius. Tenslotte is r is de afstand van jou tot het middelpunt van de planeet, gemeten in meters. Als je op de grond staat, is dat gelijk aan de straal van de planeet.

Aan de formule kun je zien:

als de massa onder je voeten groter wordt ( de M), wordt ook de zwaartekracht groter.
als de afstand tot het centrum groter wordt (de r), wordt de zwaartekracht juist kleiner.

Voor Mercurius kun je getallen opzoeken op de wiki-pagina onderaan dit artikel. Voor nu hoeven we het niet uit te rekenen: wat nu belangrijk is, is het kwadraatje van r – straks zul je zien waarom.

We duiken de planeet in

Het gaat het met de zwaartekracht als je in een planeet afdaalt? Je graaft een gat naar beneden, daalt af, en dan … Het figuurtje hierboven geldt niet meer, het wordt nu zoals hieronder: er is een hulpcirkeltje verschenen en de pijlen van de krachten komen nu van alle kanten. Er zijn twee verschillende effecten.

Effect 1: je komt dichter bij het middelpunt van de planeet. Dus in de formule van Newton: de ‘r’ wordt kleiner.

Effect 2: een deel van de planeet zit niet meer onder je, maar boven je. Of eigenlijk: aan alle kanten rondom je, maar in die schil zit de massa verder van het middelpunt vandaan dan jijzelf.

Effect 2 is heel bijzonder: het is wiskundig vrij eenvoudig uit te rekenen hoe groot de zwaartekracht is van zo’n schil op iemand die zich binnen die schil bevindt. En vreemd genoeg: het maakt dan niet uit wáár precies die persoon zich binnen de schil bevindt (zie bij de bronnen het SChil-effect), overal binnen de schil is de zwaartekracht … NUL. Helemaal niets. In een holle schil ben je gewichtsloos. De trekkracht van de massa in de schil is naar links, naar rechts, naar boven en naar onder. Alles bij elkaar vallen al die krachten precies tegen elkaar weg. Wat er overblijft? Helemaal niets. Gewichtloosheid.

Als er geen bolletje meer onder de voeten van het poppetje in figuur 3 zou zijn overgebleven, dan was hij inderdaad gewichtsloos. Maar het bolletje is er wel, en de massa in dat bolletje trekt nog steeds aan hem. Het poppetje dat zich IN de planeet bevindt, heeft dus alleen nog zwaartekracht van het deel van de planeet dat zich ONDER zijn voeten bevindt! Het deel dat dichter bij het centrum zit dan hijzelf. En dat kunnen we uitrekenen!

Conclusie: lager word je lichter

Het bolletje onder jouw voeten is kleiner dan de hele planeet. Dus: minder massa. Dus: minder zwaartekracht. Dat is logisch. Ja, zul je zeggen: maar je bevindt je wel dichter bij het centrum. De r is kleiner en daardoor zou de zwaartekracht juist groter worden.

Dat klopt! Twee effecten: kleiner door minder massa, en groter door de kleinere r. Hoe verhouden die twee effecten zich?

Wel, het volume van een bol reken je uit met een formule waarin de r voorkomt, maar dan in de derde macht: r^3. Als de bol 2x zo klein wordt, dan neemt de omvang af met de derdemacht van 2, dus met 2 x 2 x 2 is 8. Twee keer zo kleine r is 8 keer zo kleine massa.

Tegelijk: als de bol 2x zo klein wordt, zit je 2x dichter bij het centrum. In de formule van Newton ging dat met een kwadraat. Dus: 2x zo dicht bij het centrum betekent 2 x 2 = 4 keer zo grote kracht.

Twee effecten, dus. 8x zo klein en tegelijk 4x zo groot. Samen betekent dat: 2 keer zo klein. Dus: als je afdaalt van het oppervlak van Mercurius en je bent halverwege, dan weeg je nog de helft. Als de r nog maar een kwart is, dan weeg je nog maar een kwart. Als je helemaal in het midden aankomt, ben je …. gewichtloos. Geen gewicht meer. Geen netto zwaartekracht.

Wanneer is dit belangrijk?

Op Aarde voel je dit nooit. Zelfs als we kilometers diep zouden gaan, dalen we nog steeds minder dan een enkele procent van de straal van de Aarde. Bovendien wordt daar de ondergrond vloeibaar. Lastig!

Op Mercurius zou dat anders zijn. De vloeibare kern is van het mini-planeetje is minuscuul (ze denken: ca 10% van de totale straal), dus afdalen tot halverwege of zelfs nog wel lager is (in ieder geval: theoretisch) mogelijk. En dan …

Precies: je wordt lichter. De zwaartekracht wordt lager. Aan het oppervlak weeg je ongeveer 38% van je aardse gewicht. Halverwege de reis naar het centrum is dat nog 19%. Op driekwart nog 10%. En ja, dat geeft speciale effecten! Om daar meer van te weten, moet je het boek lezen …